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2019高考数学一轮复习:对点练 利用空间向量求空间角

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1.(2018·郑州质量预测)如图,三棱柱ABC -A1B1C1中,各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点. (1)证明:EF∥平面A1CD; (2)若三棱柱ABC -A1B1C1为直棱柱,求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值. 解:(1)证明:在三棱柱ABC -A1B1C1中,AC∥A1C1,且AC=A1C1, 连接ED(图略),在△ABC中,因为D,E分别为棱AB,BC的中点,所以DE∥AC,DE=12AC. 又F为A1C1的中点,可得A1F=12A1C1,所以A1F∥DE,A1F=DE, 因此四边形A1FED为平行四边形,所以EF∥A1D, 又EF⊄平面A1CD,A1D⊂平面A1CD, 所以EF∥平面A1CD. (2)法一:因为底面ABC是正三角形,D为AB的中点,所以CD⊥AB,又AA1⊥CD,AA1∩AB=A,所以CD⊥平面A1ABB1. 如图在平面A1ABB1内,过点B作BG⊥A1D,交直线A1D于点G,连接CG,则BG⊥平面A1CD,所以∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角. 设三棱柱的棱长为a,可得A1D=5a2,由△A1AD∽△BGD,可得BG=5a5, 在Rt△BCG中,sin∠BCG=BGBC=55. 所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为55. 法二:设A1B1的中点为O,连接OC1,OD,因为三棱柱ABC -A1B1C1为直棱柱,所以OD⊥平面A1B1C1,所以OD⊥OC1,OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形,所以OC1⊥A1B1. 以O为坐标原点, OA1―→,OD―→, OC1―→的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz. 设三棱柱的棱长为a,则O(0,0,0),B-a2,a,0,C0,a,32a,A1a2,0,0,D(0,a,0).所以BC―→=a2,0,32a,A1D―→=-a2,a,0,DC―→=0,0,32a. 设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z), 由n·A1D―→=0,n·DC―→=0,得-a2x+ay=0,32az=0. 令x=2,得n=(2,1,0). 设直线BC与平面A1CD所成的角为θ, 则sin θ=|n·BC―→ ||n|·|BC―→|=a5·a2=55. 所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为55. 2.如图①,正方形ABCD的边长为4,AB=AE=BF=12EF,AB∥EF,把四边形ABCD沿AB折起,使得AD⊥平面AEFB,G是EF的中点,如图②.

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