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2018高考数学(理)一轮复习热点题型:立体几何

资源分类:数学>>高考>>无版本>>高考专题辅导上传同类资源
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热点一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明,一般出现在解答题的第(1)问,解答题的第(2)问常考查求空间角,求空间角一般都可以建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标运算求解. 【例1】如图,在△ABC中,∠ABC=π4,O为AB边上一点,且3OB=3OC=2AB,已知PO⊥平面ABC,2DA=2AO=PO,且DA∥PO. (1)求证:平面PBD⊥平面COD; (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明 ∵OB=OC,又∵∠ABC=π4, ∴∠OCB=π4,∴∠BOC=π2. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC, OC⊂平面ABC,∴PO⊥OC. 又∵PO,AB⊂平面PAB,PO∩AB=O, ∴CO⊥平面PAB,即CO⊥平面PDB. 又CO⊂平面COD, ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解 以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 设OA=1,则PO=OB=OC=2,DA=1. 则C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,-1,1), ∴PD→=(0,-1,-1),BC→=(2,-2,0),BD→=(0,-3,1). 设平面BDC的一个法向量为n=(x,y,z), ∴n·BC→=0,n·BD→=0,∴2x-2y=0,-3y+z=0, 令y=1,则x=1,z=3,∴n=(1,1,3). 设PD与平面BDC所成的角为θ, 则sin θ=PD→·n|PD→||n| =1×0+1×(-1)+3×(-1)02+(-1)2+(-1)2×12+12+32=22211. 即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为22211. 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示,在多面体A1B1D1-DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F. (1)证明:EF∥B1C. (2)求二面角E-A1D-B1的余弦值. (1

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