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2018高考数学(文)复习教师用书--导数的综合应用(二)

资源分类:数学>>高考>>人教新课标>>高考专题辅导上传同类资源
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[典例] 设f(x)=ax+xln x,g(x)=x3-x2-3. (1)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M; (2)如果对于任意的s,t∈12,2,都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围. [解] (1)存在x1,x2∈[0,2], 使得g(x1)-g(x2)≥M成立, 等价于[g(x1)-g(x2)]max≥M. 由g(x)=x3-x2-3, 得g′(x)=3x2-2x=3xx-23. 由g′(x)<0,解得0<x<23; 由g′(x)>0,解得x<0或x>23. 又x∈[0,2], 所以g(x)在区间0,23上单调递减,在区间23,2上单调递增, 又g(0)=-3,g(2)=1, 故g(x)max=g(2)=1, g(x)min=g23=-8527. 所以[g(x1)-g(x2)]max =g(x)max-g(x)min =1+8527=11227≥M, 则满足条件的最大整数M=4. (2)对于任意的s,t∈12,2, 都有f(s)≥g(t)成立,等价于在区间12,2上, 函数f(x)min≥g(x)max. 由(1)可知在区间12,2上,g(x)的最大值为g(2)=1. 在区间12,2上,f(x)=ax+xln x≥1恒成立等价于a≥x-x2ln x恒成立. 设h(x)=x-x2ln x,x∈12,2, 则h′(x)=1-2xln x-x, 易知h′(x)在区间12,2上是减函数, 又h′(1)=0,所以当1<x<2时,h′(x)<0; 当12<x<1时,h′(x)>0. 所以函数h(x)=x-x2ln x在区间12,1上单调递增,在区间[1,2]上单调递减, 所以h(x)max=h(1)=1, 所以实数a的取值范围是[1,+∞). [方法点拨] 等价转化法求解双参数不等式 双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转化法.本例第(1)问是“存在性”问题,转化方法是:如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,则可转化为M≤[g(x1)-g(x2)]max,即求解使不等式M≤g(x)max-g(x)min成立时的M的最大取值;第(2)问是“恒成立”问题,转化方法是:如果对于任意的x1,x2∈12,2,都有f(x1)≥g(x2)成立,则可转化为在区间12,2上,f(x)min≥g(x)max,求解得到实数a的取值范围. [

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