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2017高考数学(理)复习--课时作业

资源分类:数学>>高考>>人教新课标>>高考专题辅导上传同类资源
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1.(2016·长春七校联考)已知函数f(x)=|x+3|+|x-1|,其最小值为t. (1)求t的值; (2)若正实数a,b满足a+b=t,求证:1a+4b≥94. [解] (1)法一:因为f(x)=-2x-2,x<-3,4,-3≤x≤1,2x+2,x>1, 根据函数f(x)的图象分析可得f(x)的最小值为4,故t=4. 法二:因为|x+3|+|x-1|=|x+3|+|1-x|≥|x+3+1-x|=4,可知f(x)min=4,即t=4. 法三:|x+3|+|x-1|表示数轴上的动点x到-3和1的距离之和,故|x+3|+|x-1|≥4,当且仅当-3≤x≤1时,取得最小值4,即t=4. (2)证明:由(1)得a+b=4,故a4+b4=1,1a+4b=1a+4ba4+b4=14+1+b4a+ab≥54+2b4a×ab=54+1=94,当且仅当b=2a,即a=43,b=83时取等号.故1a+4b≥94. 2.(2016·高考全国卷甲)已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|. [解] (1)f(x)=-2x,x≤-12,1,-12<x<12,2x,x≥12. 当x≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1, 所以-1<x≤-12; 当-12<x<12时,f(x)<2恒成立; 当x≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1, 所以12≤x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}. (2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|. 3.(2016·东北四市教研联合体)已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t成立. (1)求满足条件的实数t的集合T; (2)若m>1,n>1,且对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,试求m+n的最小值.

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